Historia
Los números enteros positivos y negativos, son el resultado natural de las operaciones suma y resta. Su empleo, aunque con diversas notaciones, se remonta a la antigüedad.

El nombre de enteros se justifica porque estos números ya positivos o negativos, siempre representaban una cantidad de unidades no divisibles (por ejemplo, personas).

No fue sino hasta el siglo XVII que tuvieron aceptación en trabajos científicos europeos, aunque matemáticos italianos del renacimiento como Tartaglia y Cardano los hubiesen ya advertido en sus trabajos acerca de solución de ecuaciones de tercer grado. Sin embargo, la regla de los signos ya era conocida previamente por los matemáticos de la India.

Aplicación en contabilidad

Encuentran aplicación en los balances contables. A veces, cuando la cantidad adeudada o pasivo, superaba a la cantidad poseída o activo, se decía que el banquero estaba en "números rojos". Esta expresión venía del hecho que lo que hoy llamamos números negativos se representaban escritos en tinta roja así: "30" podía representar un balance positivo de 30 sueldos, mientras que "3" escrito con tinta roja podía representar, 3 sueldos, es decir, una deuda neta de 3 sueldos.

Estructura de los números enteros:
Los enteros con la adición y la multiplicación forman una estructura algebraica llamada anillo. Pueden ser considerados una extensión de los números naturales y un subconjunto de los números racionales (fracciones). Los números enteros son subconjunto de los números racionales o fracciones, puesto que cada número entero puede ser considerado como una fracción cuyo denominador es el número uno.

Los números enteros pueden ser sumados y/o restados, multiplicados y comparados. Si la división es exacta, también pueden dividirse dentro del mismo conjunto de los enteros. La razón principal para introducir los números negativos sobre los números naturales es la posibilidad de resolver ecuaciones del tipo:
a + x = b
para la incógnita x.

Matemáticamente, el conjunto de los números enteros con las operaciones de suma y multiplicación, constituye un anillo conmutativo y unitario. Por otro lado, , donde es el orden usual sobre , es un conjunto completamente ordenado sin cota superior o inferior: los enteros no tienen principio ni fin. El conjunto de los números enteros se representa mediante (el origen del uso de Z es el alemán Zahlen 'números').

Construcción formal de los enteros a partir de los naturales:
Un número entero negativo puede ser definido mediante la diferencia de dos números naturales. Por ejemplo − 3 = 5 − 8, de donde puede asociarse el número − 3 con el par ordenado (5,8) de números naturales. Sin embargo, debido a que (4,7) y una infinidad más de pares ordenados dan como resultado − 3 al restar sus componentes, no puede decirse simplemente que − 3 = (5,8). Lo que puede hacerse, es incluir todos los pares ordenados de números naturales, que dan como resultado − 3 al restar sus componentes, dentro de un solo conjunto, o, más exactamente, dentro de una clase de equivalencia.

La representación de los números enteros es :
Z = {... -2,-1,0,+1,+2,... }

Dentro de los números enteros (están completos ) o sea no son decimales como 2,5 ; 1,5 ; 3,5 ; etc. sino que son : 0,1,2,3,4,5,6,7,+1,+2,+3,+4,+5,+6,+7, positivos ( teniendo el signo o no ) .También dentro de ellos están los negativos como se puede apreciar en la notación simbólica.
-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,....

Decíamos que es el cociente de una división exacta porque al dividir 20/5 obtenemos como resultado 4 que no es más que el cociente que pertenece a los números enteros y también naturales . La diferencia entre ENTEROS (Z) y NATURALES (N) es que los enteros contienen números negativos y los naturales no contienen números negativos. Otra diferencia es que los enteros llevan visible el signo positivo (+) , mientras que los naturales lo llevan invisible, es decir , SOBREENTENDIDO. Naturales: 0,1,2,3,4,5,6,7,...

Enteros: 0,+1,+2,+3,+4,+5,+6,+7,... ; el cero como dije en otra ocasión no posee signo ni positivo ni negativo es neutro.

Los números enteros positivos se hallan a la derecha del cero en la recta numérica.
Los números enteros negativos se hallan a la izquierda del cero en la recta numérica.
-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7

Operaciones en Z (con enteros positivos y negativos)

Para poder realizar las operaciones en el conjunto de los números enteros (Z) debes memorizar las siguientes reglas (son fáciles; sólo requieren de práctica).

Suma en Z (Conjunto de Números Enteros positivos y negativos):

Existen únicamente dos casos: números de igual signo y números con signo distinto. Las reglas a memorizar son las siguientes:

a) Números de igual signo: Cuando dos números tiene igual signo se debe sumar y conservar el signo.

Ej :-3 + -8 = - 11 ( sumo y conservo el signo)

12 + 25 = 37 ( sumo y conservo el signo)

b) Números con distinto signo: Cuando dos números tienen distinto signo se debe restar y conservar el signo del número que tiene mayor valor absoluto (recuerda que el valor absoluto son unidades de distancia, lo que significa que se debe considerar el número sin su signo).

Ej:-7 + 12 = 5 (tener 12 es lo mismo que tener +12, por lo tanto, los números son de distinto signo y se deben restar: 12 - 7 = 5 ¿con cuál signo queda?. El valor absoluto de –7 es 7 y el valor absoluto de +12 es 12, por lo tanto, el número que tiene mayor valor absoluto es el 12; debido a esto el resultado es un numero positivo).
5 + -51 = - 46 ( es negativo porque el 51 tiene mayor valor absoluto)

Resta en Z

Para restar dos números o más, es necesario realizar dos cambios de signo porque de esta manera la resta se transforma en suma y se aplican las reglas mencionadas anteriormente. Son dos los cambios de signo que deben hacerse:

a)Cambiar el signo de la resta en suma

b)Cambiar el signo del número que está a la derecha del signo de operación por su signo contrario

Ej: -3 ¾ 10 = -3 + - 10 = -13 ( signos iguales se suma y conserva el signo)

19 ¾ - 16 = 19 + + 16 = 19 + 16 = 35

Multiplicación y División en Z

La regla que se utiliza es la misma para multiplicar que para dividir.¿ CÓMO SE HACE?. Multiplico números y luego multiplico los signos de acuerdo a la siguiente tabla:

+ · + = +

- · - = +

+ · - = -

- · + = -

Ej: 5 · 10 = 50

-6 . -8 = 48

12 · -4 = -48

-7 . 2 = -14

Siempre se deben multiplicar o dividir los números y luego aplicar las reglas de signos para dichas operaciones.